灾A恒等登神点，怒D掌握逆世解。

若 a,b \in \mathbb{R} ，对 \forall x \in [-2,2] ，均有 (2a + b)x^2 + bx - a - 1 \leq 0 恒成立，则 2a + b 的最小值为_

If  a,b \in \mathbb{R} , and for all  x \in [-2,2] ,  (2a + b)x^2 + bx - a - 1 \leq 0  holds constantly, then the minimum value of  2a + b  is?

DeepSeek-V3.2-Speciale

给定条件：对于所有 $x \in [-2,2]$ ，不等式

(2a + b)x^2 + bx - a - 1 \leq 0

成立，这对参数 $a$ 和 $b$ 构成了限制。

令 $S = 2a + b$ 。利用 $a = \dfrac{S - b}{2}$ ，将不等式改写为

S\left(x^2 - \dfrac12\right) + b\left(x + \dfrac12\right) - 1 \leq 0.

取 $x = -\dfrac12$ ，此时 $x + \dfrac12 = 0$ ，不等式化为

S\left(\dfrac14 - \dfrac12\right) - 1 \leq 0 \;\Longrightarrow\; -\dfrac14 S \leq 1 \;\Longrightarrow\; S \geq -4.

因此， $S \geq -4$ 是必要条件。

选取 $a = 0,\; b = -4$ ，则 $S = -4$ ，且

(2a + b)x^2 + bx - a - 1 = -4x^2 - 4x - 1 = -(2x+1)^2 \leq 0,

对所有 $x$ 均成立。故 $S = -4$ 是可以取到的。

由于 $S$ 不能小于 -4，且 -4 确实可以取到，因此 $2a + b$ 的最小值为 -4。

\boxed{-4}